2.2.2 椭圆的简单几何性质课堂探究探究一 利用标准方程研究几何性质解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出 a，b 的值，并求出 c 的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．【典型例题 1】 求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式，然后再写出性质．解：把已知方程化成标准方程为＋＝1，所以 a＝4，b＝3，c＝＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，离心率 e＝＝.两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．探究二 利用椭圆的几何性质求它的方程利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：【典型例题 2】 已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为＋＝1(m＞0，n＞0)的形式求解．解法一：若椭圆的焦点在 x 轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆方程为＋y2＝1.若焦点在 y 轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆方程为＋＝1.综上所述，椭圆方程为＋y2＝1 或＋＝1.解法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则由题意得或解得或所以椭圆方程为＋y2＝1 或＋＝1.探究三 与离心率有关的问题求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程与焦点的位置确定 a2，b2，求出 a，c 的值，利用1定义 e＝求解或构造关于 a，c 的齐次方程求解．要确定离心率的取值范围，则需根据条件建立 a，b，c 满足的关系式，化为关于 a，c 的不等式求解．【典型例题 3】 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为 F1，F2，若在椭圆上存在一点 P，使PF1·PF2＝0，求椭圆的离心率 e 的取值范围．思路分析：由条件PF1·PF2＝0，知 PF1⊥PF2，所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．解：如图所示，由题意知点 P 在以 F1F2为直径的圆上，即在圆 x2+y2=c2上，又点 P 在椭圆上，所以圆 x2+y2=c2与椭圆2222xyab=1 有公共点，连接 OP，则易知 0＜b≤c＜a，所以 b2≤c2＜a2，即 a2-c2≤c2＜a2.所以22a ≤c2＜a2，所...
