第二课时 直线与椭圆的位置关系[导入新知]1．直线与椭圆的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，椭圆方程为 f(x，y)＝0.由消元，如消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.设 Δ＝b2－4ac.①Δ＞0 时，直线和椭圆相交于不同两点；②Δ＝0 时，直线和椭圆相切于一点；③Δ＜0 时，直线和椭圆没有公共点．2．椭圆的弦直线与椭圆相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦，线段的长就是弦长，简单地说，椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段．[化解疑难]1．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切和相离．2．解决直线与椭圆的位置关系，一般是联立直线方程和椭圆方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与椭圆的公共点的个数，从而确定位置关系．直线与椭圆的位置关系[例 1] 对不同的实数值 m，讨论直线 y＝x＋m 与椭圆＋y2＝1 的位置关系．[解] 由消去 y，得＋(x＋m)2＝1，整理得 5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；当 m＝－或 m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当 m＜－或 m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．[类题通法]判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ＞0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＜0⇔直线与椭圆相离．[活学活用]若直线 y＝kx＋1 与焦点在 x 轴上的椭圆＋＝1 总有公共点，求 m 的取值范围．解：由消去 y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，1∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)． 直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0 对任意 k∈R 都成立． m＞0，∴5k2≥1－m 恒成立． 5k2≥0，∴1－m≤0，即 m≥1.又椭圆的焦点在 x 轴上，∴0＜m＜5，∴1≤m＜5，弦长问题 [例 2] 已知斜率为 2 的直线经过椭圆＋＝1 的右焦点 F1，与椭圆相交于 A，B 两点，求弦AB 的长．[解] 法一： 直线 l 过椭圆＋＝1 的右焦点 F1(1,0)，且直线的斜率为 2，∴直线 l 的方程为 y＝2(x－1)，即 2x－y－2＝0.由方程组得交点 A(0，－2)，B.|AB|＝＝ ＝ ＝.法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 的坐标为方程组的解．...
