2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．双曲线的定义把平面内与两个定点 F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且 2a<|F1F2|，则点 M 的轨迹是什么？[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点 M 在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点F1( － c, 0) ，F2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ，F2(0 ， c ) a，b，c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 [基础自测]1．思考辨析(1)在双曲线标准方程中，a，b，c 之间的关系与椭圆中 a，b，c 之间的关系相同．( )(2)点 A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点 C 的轨迹是双曲线．( )(3)在双曲线标准方程－＝1 中，a＞0，b＞0，且 a≠b.( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．双曲线－＝1 的焦距为( )A．3 B．4 C．3 D．4D [c2＝10＋2＝12，所以 c＝2，从而焦距为 4.]3．已知双曲线的 a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( ) 【导学号：46342088】A.－＝1B.－＝1C．－＝1 或－＝1D.－＝0 或－＝0C [b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选 C．][合 作 探 究·攻 重 难]双曲线的定义及应用 若 F1，F2是双曲线－＝1 的两个焦点．(1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离．(2)若点 P 是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．[思路探究] (1)直接利用定义求解．(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.[解] (1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6.解得|MF2|＝10 或|MF2|＝22.(2)由－＝1，得 a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以 102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF...
