高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 1 椭圆的参数方程学案（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案

1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆＋＝1 的参数方程是(φ 是参数)，规定参数 φ 的取值范围是 已知实数 x，y 满足＋＝1，求目标函数 z＝x－2y 的最大值与最小值． 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题． 椭圆＋＝1 的参数方程为(φ 为参数)．代入目标函数得 z＝5cos φ－8sin φ＝cos(φ＋φ0)＝cos(φ＋φ0).所以目标函数 zmin＝－，zmax＝.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆＋＝1，点 A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点 P，使点 P 与点 A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为(θ 为参数)．设 P(5cos θ，4sin θ)，则|PA|＝＝＝＝|3cos θ－5|≤8，当 cos θ＝－1 时，|PA|最大．此时，sin θ＝0，点 P 的坐标为(－5,0)．2．椭圆＋＝1 上一动点 P(x，y)与定点 A(a,0)(0＜a＜3)之间的距离的最小值为 1，求 a的值．解：椭圆的参数方程为(θ 为参数)．设动点 P(3cos θ，2sin θ)，则|PA|2＝(3cos θ－a)2＋4sin2θ＝52－a2＋4. 0＜a＜3，∴0＜a＜.于是若 0＜a≤1，则当 cos θ＝a 时，|PA|min＝ ＝1，得 a＝(舍去)；若 1＜a＜，则当 cos θ＝1 时，由|PA|min＝＝1，得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的 a 值为 2. 椭圆参数方程的应用：求轨迹方程 已知 A，B 分别是椭圆＋＝1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹方程． 由条件可知，A，B 两点坐标已知，点 C 在椭圆上，故可设出点 C 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．1 由题意知 A(6,0)，B(0,3)．由于动点 C 在椭圆上运动，故可设动点 C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点 G 的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数 θ 得到＋(y－1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．3．已知椭圆方程是＋＝1，点 A(6,6)，P 是椭圆上一动点，求线段 PA 中点 Q 的轨迹方程．解：椭圆的参数方程为(θ 为参数)．设 P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，则有即(θ 为参数)．∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求轨迹方程．4．设 F1，F2分别为椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆 C 上的点 A 到 F1，F2的距离之和等于 4，...