高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 2 双曲线的参数方程 3 抛物线的参数方程学案（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案

2～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线－＝1 的参数方程是(φ 为参数)．规定参数 φ的取值范围为 φ∈ (1)双曲线(α 为参数)的焦点坐标是________．(2)将方程(t 为参数)化为普通方程是________． (1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利用代入法消去 t. (1)将化为－＝1，可知双曲线焦点在 y 轴，且 c＝＝4，故焦点坐标是(0，±4)．(2)由 y＝＝＝tan2t，将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程． (1)(0，±4) (2)y＝x2(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．(2)对双曲线的参数方程，如果 x 对应的参数形式是 sec φ，则焦点在 x 轴上；如果 y 对应的参数形式是 sec φ，则焦点在 y 轴上．1．如果双曲线(θ 为参数)上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么 P 到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知 a＝1，故 P 到它左焦点的距离|PF|＝10 或|PF|＝6.答案：10 或 62．过抛物线(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，则|AB|＝________.解析：化为普通方程是 x＝，即 y2＝4x，∴p＝2.∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.答案：8 双曲线、抛物线参数方程的应用 连接原点 O 和抛物线 2y＝x2上的动点 M，延长 OM 到 P 点，使|OM|＝|MP|，求 P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线． 由条件可知，M 点是线段 OP 的中点，利用中点坐标公式，求出点 P 的轨迹方程，再判断曲线类型． 设 M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在 OM 的延长线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方程为(t 为参数)．用中点公式得变形为 y0＝x，即 P 点的轨迹方程为 x2＝4y.此曲线为抛物线．1在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．3．设 P 为等轴双曲线 x2－y2＝1 上的一点，F1和 F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.证明：如图，设双曲线上的动点为 P(x，y)，焦点 F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为(θ 为参数)．则：(|F1P|·|F2P|)2＝＝(sec2 θ＋2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2sec θ＋2＋tan2θ)＝(sec θ＋1)2(sec ...