高中数学 导数在研究函数中的应用—单调性习题课素材 新人教版选修 1-1导数法求函数的单调区间：函数 y=f(x)在区间（a ,b）上可导， 结论 1：若时，函数 f(x)在（a ,b）上是增函数。 若时，函数 f(x)在（a ,b）上是减函数。结论 2：函数 f(x)在（a ,b）上是增函数时，函数 f(x)在（a ,b）上是减函数时，注： 以上各结论反之不成立。例 1 （1）求函数的单调区间。解：f(x)的定义域为 R 令，解得 x>2 或 x<0 令，解得 00 时 ，，； f(x) 在上是增函数，在上是减函数。a<0 时，，；f(x)在上是减函数，在上是增函数。小结：导数法求函数的单调区间的步骤：（1） 求函数的定义域； （2）求导；（3） 定号，即解不等式或； （4） 结论用心 爱心 专心练习：已知 是实数，函数。求函数的单调区间；解：函数的定义域为，（）．若，则，有单调递增区间．若，令，得，当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．例 2 已知函数（1）是否存在 a 使 f(x)的单调减区间是（－1，1）；（2）是否存在 a 使 f(x)在（－1，1）单调递减；（3）若 f(x)在 R 上增函数，求 a。解：（1） f(x)的单调减区间是（－1，1）的解，所以是方程＝0 的两根，所以 a=3(2) 法一：（恒成立）f(x)在（－1，1）单调递减，所以≤0 在上恒成立。所以 因为时，所以。法二：令<0,解得，由题意得所以评注：注意函数的单调区间时（a,b），与函数在区间（a，b）上单调的区别。例 3 利用导数确定函数的大致图象 画出函数的大致图象。 y 0 2 x 0 2 x用心 爱心 专心变式：求证：x>2 时，>－1 恒成立。练习：画出函数的大致图象。例 4 函数有三个单调区间，求 b 的取之范围。解： 因为函数有三个单调区间，所以＝0 有两个不等的实数根，则即 b>0。思考：若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间为增函数，试求实数 a 的取值范围。解法一：， ，方程的另一根为 a-1，则 4≤a-1≤6，解得 5≤a≤7。解法二：分离参数法因为且在区间（1，4）内为减函数，在区间为增函数，所以 在（1，4）上恒成立，则在（1，4）恒成立在上恒成立。 则在恒成立 ，所以 a≥5 5 ≤a≤7 ，所以 a≤7解...
