“四维定位”突破直线与圆锥曲线的位置关系陕西省礼泉一中 王培博（邮编 713200 Email wpb_0920@163.com）直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学的重要内容，也是高考数学试题的热点之一；我们对它的认识是：高中数学教材在第八童第三单元抛物线部分用两道例题引入直线与抛物线的位置关系，在本童小结部分有一道直线与抛物线关系的例题，在复习参考题八列出了直线与椭圆、双曲线、抛物线的练习题若干，结论是课文将该部分内容只在例题和复习题中体现；高考大纲没有单列对该项的要求，但是直线与圆锥曲线的关系每年的出题率是。一、目标测试：1、双曲线的半焦距为, 直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为，则该双曲线的离心率为 ． 答： +1解析：直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为，则纵坐标为，于是由点在椭圆上有：，整理得得评注：直线与曲线相交，则交点坐标同时适合直线方程和曲线方程。考查学生曲线与直线关系和运算的基本功2、已知直线与抛物线相切，，则 ，答：解析：对二次函数求导， ，则，切点为，代入直线方程得：评注：二次曲线的切线问题，注意与函数的求导相结合。二、能力指标：1、直线与圆锥曲线的位置关系确定途径：一是联立方程组，消元，用二次方程判别式的正负来确定，二是通过直线恒过某定点，该定点与圆锥曲线的关系来确定。如：直线 与的位置关系是（ ）A、相离 B、相交 C、相切 D、不确定 。解析：看准直线恒过定点，圆心到点的距离 2 小于半径 3，则点在圆内，直线恒于圆相交。选 B。2、直线与圆锥曲线只有一个交点的问题，应全面考虑，如与圆或椭圆只有一个交点，可以从相切角度入手，计算斜率的方法注意用判别式为零或对其求导数两种方法；直线与双曲线只有一个交点有两种可能，即直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行，而直线与抛物线只有一个交点的两种可能，分别是相切和直线平行抛物线的对称轴。3、圆锥曲线的弦的有关问题是高考命题的热点之一，主要涉及两大类题型：弦长问题和弦的中点问题。如椭圆的弦长公式，中点弦问题常用的“点差法”等，都要求学生熟练掌握。4、直线与圆锥曲线的关系问题，要学会运用发散式思维，挖掘题目的潜能，掌握一般性规律，用心 爱心 专心练习做到“以一当十”，提高复习效率。如已知抛物线 ，过，作直线交抛物线于两点，连结，我们利用 m 对数量积的结果影响可以讨论的情况。分析：设直线与抛物线交于两点，设直线方程为，联立方程组：消 x 得: ,...
