三 直线的参数方程课堂探究探究一 求经过点 P(x0，y0)，倾斜角是 α 的直,,线的参数方程由直线上一定点和直线的倾斜角，可直接写出直线的参数方程．【例题 1】已知直线 l 过点 P(3,4)，且它的倾斜角 θ＝120°.(1)写出直线 l 的参数方程；(2)求直线 l 与直线 x－y＋1＝0 的交点坐标．思路分析：根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角 θ＝120°，得该直线的参数方程，然后与 x－y＋1＝0 联立可求得交点．解：(1)直线 l 的参数方程为(t 为参数)，即(t 为参数)．(2)把代入 x－y＋1＝0，得 3－t－4－t＋1＝0，解得 t＝0.把 t＝0 代入得两条直线的交点坐标为(3,4)．探究二 直线参数方程的应用在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求．直线的参数方程和普通方程可以进行互化．特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程形式．【例题 2】已知直线的参数方程为(t 为参数)，求该直线被圆 x2＋y2＝9 截得的弦长是多少？思路分析：本题考虑使用参数方程标准形式中参数 t 的几何意义来做，所以首先要把原参数方程转化为标准形式再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于 t′的一元二次方程，弦长即为方程的两根之差的绝对值．解：将参数方程(t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为(t′为参数)，并代入圆的方程，得 2＋2＝9，整理，得 t′2＋8t′－4＝0.设方程的两根分别为 t1′，t2′，则有t1′＋t2′＝－，t1′t2′＝－4.所以|t1′－t2′|＝＝＝.探究三 易错辨析易错点：错用参数的几何意义【例题 3】已知过点 M(2，－1)的直线 l：(t 为参数)，与圆 x2＋y2＝4 交于 A，B 两点，求|AB|及|AM|·|BM|.错解：把直线方程代入圆的方程，化简得 t2－6t＋2＝0.设 A，B 两点对应的参数分别为t1，t2，那么 t1＋t2＝6，t1·t2＝2，由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|·|MB|＝|t1·t2|＝2，|AB|＝|t2－t1|＝＝＝2.错因分析：直线 l 的方程中，参数 t 的意义与直线参数方程的标准形式中参数 t 的意义是不同的，后者是点 M 与直线 l 上的一点形成的有向线段的数量，而前者则不同，错解中把两者等同起来，错用了参数的几何意义．正解：l 的参数方程可化为(t 为参数)．令 t′＝，则有(t′是参数)．其中 t′是点 M(2，－1)到直线 l 上的一点 P(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程 x2＋y2＝4，化简得 t′2－3t′＋1＝0.因为 Δ＞0，可设 t1′，t2′是方程的两根，由根与系数1的关系得 t1′＋t2′＝3，t1′t2′＝1.由参数 t′的几何意义得|MA|＝|t1′|，|MB|＝|t2′|，所以|MA|·|MB|＝|t1′·t2′|＝1，|AB|＝|t1′－t2′|＝＝.2
