高中数学 第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向 4.1.2 特征值与特征向量的的计算学案 新人教A版选修4-2-新人教A版高二选修4-2数学学案

4.1.2 特征值与特征向量的的计算§1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设 A 为 n 阶矩阵， 是一个数，如果存在非零 n 维向量 ，使得： A，则称 是矩阵 A 的一个特征值，非零向量 为矩阵 A 的属于（或对应于）特征值 的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。设 A 是 n 阶矩阵，如果0 是 A 的特征值， 是 A 的属于0 的特征向量，则0000()0(0)AAEA   因为 是非零向量，这说明 是齐次线性方程组0)(0XAI的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵0EA的行列式等于零，即0EA＝0而属于0 的特征向量就是齐次线性方程组0()0EA x 的非零解。定理 1：设 A 是 n 阶矩阵，则0 是 A 的特征值， 是 A 的属于0 的特征向量的充分必要条件是0 是0EA＝0 的根， 是齐次线性方程组0()0EA X 的非零解。定义 2：称矩阵 EA称为 A 的特征矩阵，它的行列式EA称为 A 的特征多项式，EA＝0 称为 A 的特征方程，其根为矩阵 A 的特征值。由定理 1 可归纳出求矩阵 A 的特征值及特征向量的步骤：（1）计算EA；（2）求EA＝0 的全部根，它们就是 A 的全部特征值；（3）对于矩阵 A 的每一个特征值0 ，求出齐次线性方程组0()0EA X 的一个基础解系：1rn,,,21，其中r 为矩阵0EA的秩；则矩阵 A 的属于0 的全部特征向量为：rnrnKKK2211其中rnKKK,,,21为不全为零的常数。例 1 求011101110A的特征值及对应的特征向量。解：EA＝1111111)2(1212112111111＝2)1)(2(100010111)2(令EA＝0 得：2,1321当121时，解齐次线性方程组()0EA X即：1 1 11111 1 10001 1 1000EA可知 ()1r EA ，取32, xx为自由未知量，对应的方程为0321xxx求得一个基础解系为T0,1,11，T1,0,12，所以 A 的属于特征值 1 的全部特征向量为2211KK，其中21, KK为不全为零的常数。当23时，解齐次线性方程组( 2)0EA X2111121121122121121033...