4.1 数学归纳法学习目标1．了解数学归纳法的原理．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究思考探究 探究 1．数学归纳法的第一步 n 的初始值是否一定为 1?探究 2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？名师点拨：1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的． (1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证 n＝n0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了 n＝n0时，命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设 n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依据，在n＝n0成立时，n0＋1 成立，n0＋2 成立……这样就可以无限推理下去，而证 n＝k＋1 就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤① 验证 n＝n0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；② 假设当 n＝k(k≥n0，k∈N＋时)，命题成立，利用假设证明 n＝k＋1 时命题也成立．由①和②知，对一切 n≥n0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证 n＝n0是基础，找准 n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从 1 开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4...
