4.1 数学归纳法课堂导学三点剖析一,熟悉数学归纳法证题的步骤【例 1】 已知 f(n)=1+ 21 + 31 +…+ n1 (n≥2 且 n∈N),求证:n+f(1)+…+f(n-1)=nf(n).证明:(1)当 n=2 时,等式成立.(2)假设 n=k 时,k+f(1)+…+f(k-1)=kf(k).当 n=k+1 时,左边=k+1+f(1)+…+f(k-1)+f(k)=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1=(k+1)［f(k)+11k］=(k+1)f(k+1)=右边.由(1)(2),知对 n≥2 且 n∈N 等式均成立.温馨提示用数学归纳法证题一般都有“两个步骤一个结论”,用框图表示如下:在证明时要注意书写的规范性.各个击破类题演练 1在同一平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,证明这 n 个圆将平面分成 n2-n+2 个部分.证明:(1)当 n=1 时,n2-n+2=2,即把平面分成两个部分,结论成立.(2)假设 n=k 时,k 个圆把平面分成 k2-k+2 个部分.若再增加一个圆,它与原来的 k 个圆相交,共有 2k 个交点.这些点把第 k+1 个圆分成 2k 段弧,而每段弧把它所在的那块平面分成两块,即增加了一个部分,因此总数增加了 2k 个部分.所以当 n=k+1 时,平面被分成了(k2-k+2)+2k=(k+1)2-(k+1)+2 个部分,即 n=k+1 时命题成立.由(1)(2),知 n∈N 时结论成立.变式提升 1设有 2n个球分成许多堆,我们可以任意选甲乙两堆按以下规则挪动.若甲堆的球数是 p,不少于乙堆的球数 q,则从甲堆里拿 q 个球放到乙堆里,这样算挪动一次.证明可以经过有限次挪动,把所有的球合并成一堆.证明:(1)当 n=1 时,有两个球,分为两堆,挪动一次就行了,即命题成立.(2)假设当 n=k,即有 2k个球时命题成立.当 n=k+1 时,有 2k+1=2·2k个球,显然球的个数为偶数,把它们两两配对可分成 2k对.这时只需将每对球看成一个整体,即 2k个“球”,于是问题就变成 n=k 时的情形了,由归纳假设知 n=k+1 时命题也成立.二、注意从 n=k 到 n=k+1 的过渡技巧(一)【例 2】 求证:当 n 为正整数时,n3+5n 能被 6 整除.1思路分析:本题用分析法(执果索因),由分析命题 P(k+1)入手,“凑”成命题 P(k)有关的形式.证明：(1)当 n=1 时,13+5×1=6,命题显然成立.(2)假设当 n=k 时,k3+5k 能被 6 整除.当 n=k+1 时,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6,其中两个连续自然数之积的 3 倍能被 6 整除 ,k3+5k,3k(k+1),6 分别能被 6 整除,所以当n=k+1 时,命题也成立.据(1)(2),可知对于任意 n∈N*,命题都成立.温馨提示从 n=k 到 n=k+1 时...
