4.1 数学归纳法课堂探究1．数学归纳法及其证明思路剖析：归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法．它包括不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法．比如在学习数列的知识时，我们可以通过观察数列的前几项来写数列的通项公式，这个过程用的就是不完全归纳法，我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的．例如，一个数列的通项公式是 an＝(n2－5n＋5)2，容易验证 a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1.但如果由此作出结论——对任何 n∈N＋，an＝(n2－5n＋5)2＝1 都成立，那就是错误的，事实上，a5＝25≠1.完全归纳法是根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法．数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用，用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论．2．应用数学归纳法证明问题的条件和 n0值的确定剖析：数学归纳法一般用来证明某些涉及正整数 n 的命题，n 可取无限多值，但不能简单地说所有涉及正整数 n 的命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明 (1＋)n(n∈N＋)的单调性就难以实现，一般说来，从 k＝n 到 k＝n＋1 时，如果问题中存在可利用的递推关系，则使用数学归纳法较容易，否则使用数学归纳法就有困难．在运用数学归纳法时，要注意起点 n 并非一定取 1，也可能取 0,2 等，要看清题目，比如证明凸 n 边形的内角和 f(n)＝(n－2)×180°，这里面的 n 应不小于 3，即 n≥3，第一个值 n0＝3.归纳假设的使用是数学归纳法证明的关键，这也是能否由“n＝k”递推到“n＝k＋1”的关键，在证明过程中，需根据命题的变化或者在步骤的变化中，从数学式子的结构特点上，利用拼凑的方法，凑假设，凑结论，从而使“递推关系”得以顺利进行，命题得以证明．题型一 用数学归纳法证明整除问题【例 1】用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1 能被 9 整除(n∈N＋)．分析：证明一个与 n 有关的式子 f(n)能被一个数 a(或一个代数式 g(n))整除，主要是找到 f(k＋1)与 f(k)的关系，设法找到式子 f1(k)，f2(k)，使得 f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋a·f2(k)，就可证得命题成立．证明：(1)当 n＝1 时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被 9 整除，命题成立．(2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1 能被 9 整除，则当 n＝k＋1 时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k...
