高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念学案（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案

一 曲线的参数方程 1．参数方程的概念1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数：①，并且对于 t的每一个允许值，由方程组①所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数的意义参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 求曲线的参数方程 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为 a，顶点B，A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程． 此类问题的关键是参数的选取．本例中由于 A，B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角为参数，不妨取 BP 与x 轴正向夹角为参数来求解． 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.取 OB＝t，t 为参数(0＜t＜a)． |OA|＝，∴|BQ|＝.∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为(0＜t＜a)．法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．取∠QBP＝θ，θ 为参数，则∠ABO＝－θ.在 Rt△OAB 中，|OB|＝acos＝asin θ.1在 Rt△QBP 中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标 x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．1．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀角速度运动，角速度为 rad/s，试以时间 t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点 A 处，此时 t＝0，设动点 M(x，y)对应时刻 t，由图可知(θ 为参数)，又 θ＝t，故参数方程为(t 为参数)．...