8.6 空间直线、平面的垂直8．6.1 直线与直线垂直[目标] 理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角．[重点] 异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明．[难点] 求两异面直线所成的角． 要点整合夯基础 知识点 异面直线所成的角[填一填][答一答]1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点 O 的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知，异面直线 a′与 b′所成角的大小与点 O 的位置无关．但是为了简便，点 O 常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．2．如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线 AE 与 B1C1所成的角的大小为 65°.提示： B1C1∥BC，∴异面直线 AE 与 B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°. 典例讲练破题型 类型一 异面直线所成的角[例 1] 如图，P 是平面 ABC 外一点，PA＝4，BC＝2，D、E 分别为 PC 和 AB 的中点，且 DE＝3.求异面直线 PA 和 BC 所成角的大小．[分析] (1)PA、BC 移至同一个三角形中．(2)找出 PA 和 BC 所成的角．[解] 如图，取 AC 中点 F，连接 DF、EF，在△PAC 中， D 是 PC 中点，F 是 AC 中点，∴DF∥PA，同理可得 EF∥BC，∴∠DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补角)．在△DEF 中，DE＝3，又 DF＝PA＝2，EF＝BC＝，∴DE2＝DF2＋EF2.∴∠DFE＝90°，即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90°.2证：证明作出的角就是要求的角；3计算：求角的值，常利用解三角形得出.,可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角 α 的取值范围为 0°<α≤90°. [变式训练 1] 如图，在正方体 ABCDEFGH 中，O 为侧面 ADHE 的中心，求：(1)BE 与 CG 所成的角．(2)FO 与 BD 所成的角．解：(1)如图，因为 CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角，又在△BEF 中，∠EBF＝45°，所以 BE 与 CG 所成的角为 45°.(2)如图，连接 FH，因为 HD∥EA，EA∥FB，所以 HD∥FB，又 HD＝FB，所以四边形 HFBD 为平行四边形，所以 HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角．连接 HA，AF，易得 FH＝HA＝AF，所以△AFH 为等边三角形，又知 O 为 AH 的中点，所以∠HFO＝30°，即 FO 与 BD 所成的角为 30°.类型二 线线垂直的证明与应用[例 2] 直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB1 中...
