一 曲线的参数方程课堂探究探究一 曲线的参数方程引入参数 θ 后，根据圆的中点弦的性质结合变量 x，y 的几何意义，用半径 a 及参数 θ表示坐标 x，y，即可得出曲线的参数方程．【例题 1】经过原点作圆 x2－2ax＋y2＝0(a＞0)的弦，求这些弦的中点的轨迹的参数方程．思路分析：根据题目的条件，选取恰当的参数，联系动点 M(x，y)的坐标，进而写出曲线的参数方程．解：如图，设 OQ 是经过原点的任意一条弦，OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为θ，取 θ 作为参数，已知圆的圆心是 O′(a,0)，连接 O′M，那么 O′M⊥OQ，过点 M 作 MM′⊥OO′，那么|OM|＝acos θ.所以所求轨迹的参数方程为.探究二 圆的参数方程及应用利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见题型，是圆的参数方程的主要应用之一．【例题 2】点 A(3,0)是圆 x2＋y2＝9 上的一个定点，在圆上另取两点 B，C，使∠BAC＝，求△ABC 重心的轨迹方程．解：因为 B，C 在圆上，所以设 B(3cos θ，3sin θ)，C，0＜θ＜.设重心为 G(x，y)，则 x＝＝1＋cos，y＝＝sin，消去 θ 得(x－1)2＋y2＝1.∵0＜θ＜，＜θ＋＜，－1≤cos＜，∴0≤x＜.故重心 G 的轨迹方程是圆(x－1)2＋y2＝1 中满足 0≤x＜的一段圆弧．探究三 参数方程与标准方程的互化化普通方程为参数方程，就是要把 x，y 分别用参数表示出来，所以我们要分别找出参数与 x，y 的关系，然后表达出来即可，另外要特别注意参数的取值范围；化参数方程为普通方程只要消去相应参数即可．【例题 3】(1)指出下列参数方程表示什么曲线？①(t 为参数)；②(t 为参数)．(2)椭圆的方程为＋＝1，写出它的参数方程．解：(1)①(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，1即(x－1)2＋(y＋2)2＝16，它表示以(1，－2)为圆心，半径为 4 的圆．②2＋2＝cos2t＋sin2t＝1，即＋＝1，它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆．(2)设＝cos θ，＝sin θ，则(θ 为参数)，即为所求的参数方程．点评 参数方程化为普通方程的关键是消去参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过 x＝f(t)，y＝g(t)，根据 t 的取值范围推导出 x，y 的取值范围．探究四 易错辨析易错点：忽视题中条件对 θ 角的限制【例题 4】已知点 P(x，y)满足方程 x2＋y2＝1(x≥0，y≥0)，试求 x＋y 的最大值和最小值．错解：令则 x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin∈[－，]，所以 x＋y 的最大值为，最小值为－.错因分析：忽视了已知条件 x≥0，y≥0，应对角 θ 的范围加以限制．正解：设 θ∈.所以 x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin.因为 θ∈，所以 θ＋∈.所以 sin∈，即 sin∈.故 x＋y 的最大值是，最小值是 1.2
