高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 第1节 数学归纳法创新应用教学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教学案

第 1 节 数学归纳法[核心必知]1．数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 n ＝ n 0 时命题成立；(2)假设当 n ＝ k ( k ∈ N ＋， 且 k ≥ n 0)时命题成立，证明 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．2．数学归纳法的基本过程[问题思考]1．在数学归纳法中，n0一定等于 1 吗？提示：不一定．n0 是适合命题的正整数中的最小值，有时是 n 0＝ 1 或 n 0＝ 2 ．有时 n 0 值也比较大 ， 而不一定是从 1 开始取值 ．2．数学归纳法的适用范围是什么？提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学 命题的证明 ．3．数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：在数学归纳法中的第一步“验证 n ＝ n 0 时 ， 命题成立” ， 是归纳奠基、是推理 证明的基础．第二步是归纳递推 ， 保证了推理的延续性 ， 证明了这一步 ， 就可以断定这个命题对于 n 取第一个值 n 0 后面的所有正整数也都成立． 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有 2n 项，右边有 n 项，由 k 到 k＋1 时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”时，要注意项的合并．(1)当 n＝1 时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．(2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N＋)时命题成立，即有 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.则当 n＝k＋1 时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋，从而可知，当 n＝k＋1 时，命题亦成立．由(1)(2)可知，命题对一切正整数 n 均成立．(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述 n＝n0时命题的形式，二是准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．(2)应用数学归纳法时的常见问题①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是 n＝1，有时需验证 n＝2，n＝3.② 对 n＝k＋1 时式子的项数以及 n＝k 与 n＝k＋1 的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③“假设 n＝k 时命题成立，利用这一假设证明 n＝k＋1 时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不...