高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 第2节 用数学归纳法证明不等式举例创新应用教学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教学案

第 2 节 用数学归纳法证明不等式举例[核心必知]贝努利(Bernoulli)不等式如果 x 是实数，且 x>－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数，那么有(1＋x)n>1 ＋ nx ．[问题思考]在贝努利不等式中，指数 n 可以取任意实数吗？提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数 n 改成实数 α 后，将有以下几种情况出现：(1)当 α 是实数，并且满足 α>1 或者 α<0 时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．(2)当 α 是实数，并且满足 0<α<1 时，用(1＋x)α≤1＋αx(x>－11)． 已知 Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．[精讲详析] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意 n 的取值范围，因为n>1，n∈N＋，因此应验证 n0＝2 时不等式成立．(1)当 n＝2 时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，即 n＝2 时命题成立．(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即 S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.则当 n＝k＋1 时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋.故当 n＝k＋1 时，命题也成立．由(1)、(2)知，对 n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．利用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 到 n＝k＋1 的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“＋＋…＋>＝”的变形．1．证明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋＋＋…＋<2. 当 n＝k＋1 时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋＝，现在只需证明<2，即证：2<2k＋1，两边平方，整理：0<1，显然成立．∴<2成立．即 1＋＋＋…＋＋<2 成立．∴当 n＝k＋1 时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任何正整数 n 原不等式都成立. 设 Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较 Pn与 Qn的大小，并加以证明．[精讲详析] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对 n 取特值，猜想 Pn与 Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．(1)当 n＝1，2 时，Pn＝Qn.(2)当 n≥3 时，(以下再对 x 进行分类)．① 若 x∈(0，＋∞)，显然有 Pn>Qn.② 若 x＝0，则 Pn＝Qn.③ 若 x∈(－1，0)，则 P3－Q3＝x3<0，所以 P3