高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 二 用数学归纳法证明不等式举例学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案VIP专享

二 用数学归纳法证明不等式举例 1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧． 2.理解贝努利不等式．3．能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明．, [学生用书 P57])1．数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤① 证明：当 n 取第一个值 n0 时结论成立；② 假设当 n ＝ k (k∈N＋，且 k≥n0)时结论成立，证明当 n＝k ＋ 1 时结论也成立．由①②可知命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立．(2)用数学归纳法证明不等式的重点用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设 f(k)>g(k)成立，证明 f(k＋1)>g(k＋1)成立．2．贝努利不等式(1)定义：如果 x 是实数，且 x>－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数，那么有(1＋x)n>1 ＋ nx ．(2)贝努利不等式的一般形式① 当 α 是实数，并且满足 α>1 或 α<0 时，有(1＋x)α≥1 ＋ αx (x>－1)；② 当 α 是实数，并且满足 0<α<1 时，有(1＋x)α≤1 ＋ αx (x>－1)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”，第一步的验证为 21＋1≥12＋1＋2.( )(2)设 x>－1，且 x≠0，n 为大于 1 的自然数，则(1＋x)n<1＋nx.( )(3)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋>”，当 n＝1 时，不等式左边的项为＋＋.( )答案：(1)√ (2)× (3)√2．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由 n＝k 递推到 n＝k＋1 时不等式左边应( )1A．增加了一项B．增加了两项＋C．增加了 B 中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对答案：C3．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时第一步需要证明( )A．1<2－B．1＋<2－C．1＋＋<2－D．1＋＋＋<2－答案：C4．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由 n＝k(k>1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项数是________．解析：左边的特点：分母逐项增加 1，末项为；由 n＝k，末项为到 n＝k＋1，末项为＝，所以应增加的项数为 2k.答案：2k 用数学归纳法证明有关函数中的不等关系[学生用书 P58] 已知 f(x)＝.对于 n∈N＋，试比较 f()与的大小并说明理由．【解】 据题意 f(x)＝＝＝1－，所以 f()＝1－，又＝1－，所以要比较 f()与的大小，只需比较 2n与 n2的大小即可，当 n＝1 时，21＝2>12＝1，当 n＝2 时，22＝4＝22，当 n＝3 时，23＝8<...