二 数学归纳法证明不等式举例1．贝努利不等式如果 x 是实数，且 x>－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数，那么有(1 ＋ x ) n >1 ＋ nx .2．贝努利不等式的推广当指数 n 推广到任意实数 α 时，(1)若 0<α<1 时，则(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)；(2)若 α>1 或 α<0 时，则(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．3．利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，难点是由 n＝k 时命题成立推出 n＝k＋1 时命题成立这一步．为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．利用数学归纳法证明不等式 证明：2n＋2>n2，n∈N*. ―→―→ ①当 n＝1 时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边；当 n＝2 时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当 n＝3 时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．因此当 n＝1,2,3 时，不等式成立．② 假设当 n＝k(k≥3 且 k∈N*)时，不等式成立．当 n＝k＋1 时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因 k≥3，则 k－3≥0，k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以 2k＋1＋2>(k＋1)2.故当 n＝k＋1 时，原不等式也成立．根据①②，原不等式对于任何 n∈N 都成立．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由 n＝k 到 n＝k＋1 的变形．为满足题目的要求，常常要采用“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，1再证明．1．用数学归纳法证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．证明：①当 n＝2 时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．② 假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>.当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＋＋>＋＋＋－>＋＝.∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．由①②知，原不等式对一切 n≥2，n∈N*均成立．2．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N*)．证明：①当 n＝2 时，1＋＝<2－＝，不等式成立．② 假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即 1＋＋＋…＋<2－.当 n＝k＋1 时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，不等式成立．由①②知原不等式在 n≥2，n∈N*时均成立．3．设 Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N*，x∈(－1，＋∞)，试比较 Pn与 Qn的大小，并加以证明．解：①当 n＝1,2 时，Pn＝Qn.② 当 ...
