二 用数学归纳法证明不等式 对应学生用书 P421．利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由 n＝k 成立，推导 n＝k＋1 成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．2．归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法． 对应学生用书 P42利用数学归纳法证明不等式[例 1] 证明：2n＋2>n2，n∈N＋.[思路点拨] ―→―→[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当 n＝2 时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边；当 n＝3 时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边．因此当 n＝1,2,3 时，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥3 且 k∈N＋)时，不等式成立．当 n＝k＋1 时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因 k≥3，则 k－3≥0，k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以 2k＋1＋2>(k＋1)2.故当 n＝k＋1 时，原不等式也成立．根据(1)(2)，原不等式对于任何 n∈N 都成立．数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到 n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．1．用数学归纳法证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当 n＝2 时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立．即＋＋…＋>.当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＋＋>＋>＋＝.∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．由(1)(2)知，原不等式对一切 n≥2，n∈N＋均成立．2．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当 n＝2 时，1＋＝<2－＝，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即 1＋＋＋…＋<2－...
