一 数学归纳法 对应学生用书 P39数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当 n 取第一值 n0(例如可取 n0＝1)时命题成立，然后假设当 n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：① 证明当 n 取第一个值 n 0(如取 n0＝1 或 2 等)时命题正确；② 假设当 n＝k(k∈N＋，k≥n0)时结论正确，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也正确．由此可以断定，对于任意不小于 n 0 的正整数 n，命题都正确． 对应学生用书 P39利用数学归纳法证明恒等式[例 1] 证明：当 n≥2，n∈N＋时，…＝.[思路点拨] 注意到这是与正整数 n 有关的命题，可考虑用数学归纳法证明．[证明] (1)当 n＝2 时，左边＝1－＝，右边＝＝.∴当 n＝2 时，等式成立．(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即：…(1－)＝当 n＝k＋1 时，…＝＝·＝＝.∴当 n＝k＋1 时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意 n≥2，n∈N＋等式成立．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用归纳假设．1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数 n，均有1－＋－＋…＋－＝2成立时，(1)第一步检验的初始值 n0是什么？(2)第二步归纳假设 n＝2k 时(k∈N＋)等式成立，需证明 n 为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设 n＝k(k 为正偶数)时等式成立，需证明 n 为何值时，等式成立．解：(1)n0为 2.此时左边为 1－，右边为 2×＝.(2)假设 n＝2k(k∈N＋)时，等式成立，就需证明 n＝2k＋2(即下一个偶数)时，命题也成立．(3)若假设 n＝k(k 为正偶数)时，等式成立，就需证明 n＝k＋2(即 k 的下一个正偶数)时，命题也成立．2．求证：1＋＋＋…＋＝(n∈N＋)．证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝＝1，所以左边＝右边，等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 1＋＋＋…＋＝.则当 n＝k＋1 时，1＋＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝.这就是说，当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何 x∈N＋等式都成立．用数学归纳法证明整除问题[例 2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被 x＋y 整除．[思...
