一 学归纳法数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当 n 取第一值 n0(例如可取 n0＝1)时命题成立，然后假设当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：① 证明当 n＝n0(n0∈N*)时命题成立；② 当 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，证明 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立．由此可以断定，命题对于不小于 n 0 的所有正整数都成立．利用数学归纳法证明恒等式 证明：当 n≥2，n∈N*时，…＝. 注意到这是与正整数 n 有关的命题，可考虑用数学归纳法证明． ①当 n＝2 时，左边＝1－＝，右边＝＝.∴当 n＝2 时，等式成立．② 假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即…＝.当 n＝k＋1 时，…·＝＝·＝＝.∴当 n＝k＋1 时，等式也成立．由①②知，对任意 n≥2，n∈N*等式成立．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 n＝n0时命题的形式；二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用归纳假设．1．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．证明：①当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．② 假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋11)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)·，所以 n＝k＋1 时，等式也成立．由①②得，等式对任何 n∈N*都成立．2.用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.证明：①当 n＝1 时，左边＝1－＝＝＝右边，所以等式成立．② 假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.则当 n＝k＋1 时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋－＝＋＝＋…＋＋＋＝右边，所以，n＝k＋1 时等式成立．由①②知，等式对任意 n∈N*都成立.用数学归纳法证明整除问题 求证：x2n－y2n(n∈N*)能被 x＋y 整除． 本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． ①当 n＝1 时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被 x＋y 整除．② 假设 n＝k(k≥1，k...
