高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法 2.2.1 综合法课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1 综合法课堂导学三点剖析一,利用综合法证明不等式【例 1】 (1)若 a>0,b>0,求证:abba22 ≥a+b

思路分析:主要利用不等式2ba ≥ab 和 a2+b2≥2ab

证明:由 a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab,即 2(a2+b2)≥(a+b)2

∴abba22 ≥babababa222)()(2=a+b

(2)设 a,b,c 都是正数，求证:2222222accbba(a+b+c)

思路分析:主要利用不等式2)(2222yxyx

证明:由不等式 a2+b2≥2)(22222baabba

∴22ba ≥2ba 

同理,2,22222acaccbcb2)222(2222222cacbbaaccbba（a+b+c）各个击破类题演练 1已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a,b,c 成等比数列,求证:a2+b2+c2≥(a-b+c)2

证明:左边-右边=2(ab+bc-ac)

a,b,c 成等比数列,∴b2=ac

又 a,b,c∈(0,+∞),∴00,∴a2+b2+c2>(a-b+c)2

变式提升 11若 a,b,c 是正数，能确定baccabcba222与2cba的大小吗

解析: cba24+(b+c)≥4a,acb24+(c+a)≥4b,bac24+(a+b)≥4c,∴cba24+acb24+bac24≥2(a+b+c),即bacacbcba222≥2cba

二、用综合法证明条件不等式【例 2】 已知 a,b,c>0,且 abc=1,求证:cba≤ a1 + b1 + c1

证明： a,b,c>0,且 abc=1,∴a1 +b1 ≥cab212,b1 +c1 ≥abc212,c1 +a1 ≥ba