高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法 2.2.1 综合法课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

2.2.1 综合法课堂导学三点剖析一,利用综合法证明不等式【例 1】 (1)若 a>0,b>0,求证:abba22 ≥a+b.思路分析:主要利用不等式2ba ≥ab 和 a2+b2≥2ab.证明:由 a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab,即 2(a2+b2)≥(a+b)2.∴abba22 ≥babababa222)()(2=a+b.(2)设 a,b,c 都是正数，求证:2222222accbba(a+b+c).思路分析:主要利用不等式2)(2222yxyx.证明:由不等式 a2+b2≥2)(22222baabba.∴22ba ≥2ba .同理,2,22222acaccbcb2)222(2222222cacbbaaccbba（a+b+c）各个击破类题演练 1已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a,b,c 成等比数列,求证:a2+b2+c2≥(a-b+c)2.证明:左边-右边=2(ab+bc-ac). a,b,c 成等比数列,∴b2=ac.又 a,b,c∈(0,+∞),∴00.∴2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0,∴a2+b2+c2>(a-b+c)2.变式提升 11若 a,b,c 是正数，能确定baccabcba222与2cba的大小吗？解析: cba24+(b+c)≥4a,acb24+(c+a)≥4b,bac24+(a+b)≥4c,∴cba24+acb24+bac24≥2(a+b+c),即bacacbcba222≥2cba.二、用综合法证明条件不等式【例 2】 已知 a,b,c>0,且 abc=1,求证:cba≤ a1 + b1 + c1 .证明： a,b,c>0,且 abc=1,∴a1 +b1 ≥cab212,b1 +c1 ≥abc212,c1 +a1 ≥bac212.∴2( a1 + b1 + c1 )≥2(cba).∴ a1 + b1 + c1 ≥cba.温馨提示在证明含有条件的不等式时 ,用好条件往往是证题的关键 ,在本题中抓住了 abc=1bacacbbca1,1,1这一关键,从而与要证的不等式建立了联系.类题演练 2已知 a,b,c 是正数,且 a+b+c=1,求证:( a1 -1)( b1 -1)( c1 -1)≥8.2证明:( a1 -1)( b1 -1)( c1 -1)=abcabacbccbabcaacb222=8.变式提升 2(1)已知 a,b 是正数,且 a+b=1.求证:(ax+by)(ay+bx)≥xy.(2)若 x+3y-1=0,求证:2x+8y≥22.证明:(1)左边=(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=［(a+b)2-2ab］xy+ab(x2+y2)=(1-2ab)xy+ab(x2+y2)=xy+ab(x-y)2, a>0,b>0,(x-y)2≥0,∴左边≥xy=右边.因此不等式成立.(2)2x+23y≥222222233 yxyx.三、与函数,数列,解析几何等知识相结合的不等式证明问题【例 3】 数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0,xn+1=21 (xn+nxa ),n∈N.(1)证明对 n≥2,总有 xn≥a ;(2)证明对 n≥2,总有 xn≥xn+1.证明：...