高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法 2.3.1 反证法课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

2.3.1 反证法课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例 1】 设 f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在 x0、y0∈［0,1］，使|x0y0-f(x0)-g(y0)|≥ 41 .证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数 x,y 均有|xy-f(x)-g(y)|< 41 ，考虑对 x,y 在［0,1］内取特殊值:(1)取 x=0,y=0 时，有|0×0-f(0)-g(0)|< 41 ,∴|f(0)+g(0)|< 41 ;(2)取 x=1,y=0 时，有|1×0-f(1)-g(0)|< 41 ,∴|f(1)+g(0)|< 41 ;(3)取 x=0,y=1 时，有|0×1-f(0)-g(1)|< 41 ,∴|f(0)+g(1)|< 41 ;(4)取 x=1,y=1 时，有|1×1-f(1)-g(1)|< 41 ,∴|1-f(1)-g(1)|< 41 . 1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|< 41 + 41 + 41 + 41 =1.∴1<1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.各个击破类题演练 1求证:如果 a>b>0，那么nnba (n∈N 且 n>1).证明:假设 n a 不大于 n b 有两种情况:nnba 或者nnba .由推论 2 和定理 1，当nnba 时，有 ab>0 矛盾，所以nnba .变式提升 1求证:如果 a>b>0,那么21a<21b.证明:假设21a≥21b,则21a-21b=2222baab ≥0. a>b>0,∴a2b2>0.∴b2-a2=(b+a)(b-a)≥0. a>b>0,∴b+a>0.∴b-a≥0,即 b≥a.这与已知 a>b 矛盾.1∴假设不成立，原结论21a<21b成立.二、什么时候用反证法证明不等式【例 2】 设 0 41 ,(1-b)c> 41 ,(1-c)a> 41 .以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a> 641 ,亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c> 641 .①又 00,y>0,且 x+y>2,求证:xy1与yx1中至少有一个小于 2.证明:假设xy1、yx1都不小于 2，则xy1≥2,yx1≥2. x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y).∴x+y≤2，这与已知 x+y>2 矛盾.故假设不成立，原题得证.变式提升 2设 a,b,c 均...