1 反证法课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例 1】 设 f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在 x0、y0∈［0,1］，使|x0y0-f(x0)-g(y0)|≥ 41
证明:用反证法
假设对［0,1］内的任意实数 x,y 均有|xy-f(x)-g(y)|< 41 ，考虑对 x,y 在［0,1］内取特殊值:(1)取 x=0,y=0 时，有|0×0-f(0)-g(0)|< 41 ,∴|f(0)+g(0)|< 41 ;(2)取 x=1,y=0 时，有|1×0-f(1)-g(0)|< 41 ,∴|f(1)+g(0)|< 41 ;(3)取 x=0,y=1 时，有|0×1-f(0)-g(1)|< 41 ,∴|f(0)+g(1)|< 41 ;(4)取 x=1,y=1 时，有|1×1-f(1)-g(1)|< 41 ,∴|1-f(1)-g(1)|< 41
1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|< 41 + 41 + 41 + 41 =1
∴1b>0，那么nnba (n∈N 且 n>1)
证明:假设 n a 不大于 n b 有两种情况:nnba 或者nnba
由推论 2 和定理 1，当nnba 时，有 ab>0 矛盾，所以nnba
变式提升 1求证:如果 a>b>0,那么21ab>0,∴a2b2>0
∴b2-a2=(b+a)(b-a)≥0
a>b>0,∴b+a>0
∴b-a≥0,即 b≥a
这与已知 a>b 矛盾
1∴假设不成立，原结论21a 41
以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a> 641 ,亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c> 641
