§2 导数在实际问题中的应用2．1 实际问题中导数的意义某人拉动一个物体前进，他所做的功 W(单位：J)是时间 t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为 W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.问题 1：t 从 1 s 到 4 s 时，功 W 关于时间 t 的平均变化率是多少？提示：＝＝11(J/s)．问题 2：上述问题的实际意义是什么？提示：它表示从 t＝1 s 到 t＝4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功 11 J.问题 3：W′(1)的实际意义是什么？提示： W′(t)＝3t2－8t＋10，∴W′(1)＝5.表示此人在 t＝1s 时每秒做功为 5 J.实际问题中导数的意义1．功关于时间的导数是功率．2．降雨量关于时间的导数是降雨强度．3．生产成本关于产量的导数是边际成本．4．路程关于时间的导数是速度．速度关于时间的导数是加速度．5．质量关于长度的导数是线密度．在日常生活中，有许多需要用导数概念来理解的量．如物理学中，速度是路程关于时间的导数，功率是功关于时间的导数．解决这些问题，要在阅读材料、理解题意的基础上利用数学知识对模型进行分析，得到数学结论，然后再用数学结论解释实际问题．导数在物理学中的应用[例 1] 把原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 x h 时，原油的温度(单位：℃)为 y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．(1)分别计算当 x 从 0 变到 1，从 2 变到 3 时，原油温度 y 关于时间 x 的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；(2)计算第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．[思路点拨] (1)平均变化率即为.(2)可利用导数公式求出 y′，再分别求当 x＝2,6 时的导数值．[精解详析] (1)由题意得 f(0)＝15，f(1)＝9，∴当 x 从 0 变到 1 时，原油温度平均变化率为＝－6(℃/h)，表示从 0 到 1 这一小时内，原油温度平均每小时降低 6℃.又 f(2)＝5，f(3)＝3，∴当 x 从 2 变到 3 时，原油温度平均变化率为＝－2(℃/h)，表示从 2 到 3 这一小时内，原油温度平均每小时降低 2℃.－6<－2，说明原油温度在开始的 1 小时比以后 1 小时的温度下降的多．(2)y′＝2x－7，当 x＝2 时，y′＝－3，当 x＝6 时，y′＝5.在第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 与 5.这说明 x＝2 h 时原油温度大约以 3℃/h 的速率下降；x＝6 h 时，原油温度大约以 5℃/h 的速率上升．[一点通] 利...
