4.2.1 实际问题中导数的意义学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题.知识点 实际问题中导数的意义思考 某人拉动一个物体前进，他所做的功 W(单位：J)是时间 t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为 W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.(1)t 从 1 s 到 4 s 时 W 关于 t 的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意义是什么？(3)W′(1)的实际意义是什么？答案 (1)＝＝11 J/s.(2)它表示从 t＝1 s 到 t＝4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功 11 J.(3)W′(t)＝3t2－8t＋10，W′(1)＝5 表示在 t＝1 s 时每秒做功 5 J.梳理 (1)在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特 . 功率是功关于时间的导数.(2)在气象学中，通常把单位时间(如 1 时，1 天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标.降雨强度是降雨量关于时间的导数 . (3)在经济学中，通常把生产成本 y 关于产量 x 的函数 y＝f(x)的导函数称为边际成本 . 边际成本 f′(x0)指的是当产量为 x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为 x0时，每增加一个单位的产量，需要增加 f′(x0)个单位的成本.类型一 导数在物理学中的意义例 1 某质点的运动方程为 s＝s(t)＝2t2＋3t，其中 s 是位移(单位：m)，t 是时间(单位：s).(1)求当 t 从 1 s 变到 3 s 时，位移 s 关于时间 t 的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求 s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义.解 (1)当 t 从 1 s 变到 3 s 时，s 关于 t 的平均变化率为＝＝＝11 m/s.它表示从 t＝1 s 到 t＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是 11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得 s′(t)＝4t＋3，则 s′(1)＝4＋3＝7 m/s，s′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.s′(1)表示的是该质点在 t＝1 s 时的瞬时速度，也就是该质点在 t＝1 s 这个时刻的瞬时速度为 7 m/s.s′(2)表示的是该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度，也就是该质点在 t＝2 s 这个时刻的瞬时速度为 11 m/s.反思与感悟 根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等.因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解.跟踪训练 1 某河流在一段时间 x min 内流过的水量为 ...
