高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.2 最大值、最小值问题导学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

4.2.2 最大值、最小值问题学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点 函数的最大(小)值与导数如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像.思考 1 观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值.答案 极大值为 f(x1)，f(x3)，极小值为 f(x2)，f(x4).思考 2 结合图像判断，函数 y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).思考 3 函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.(2)求函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：① 求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；② 将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 . 类型一 求函数的最值命题角度 1 不含参数的函数求最值例 1 求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]；(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π].解 (1)因为 f(x)＝2x3－12x，所以 f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令 f′(x)＝0，解得 x＝－或 x＝.因为 f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；所以当 x＝时，f(x)取得最小值－8；当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.(2)f′(x)＝＋cos x，令 f′(x)＝0，又 x∈[0，2π]，解得 x＝或 x＝.1因为 f(0)＝0，f(2π)＝π，f()＝＋，f()＝－.所以当 x＝0 时，f(x)有最小值 0；当 x＝2π 时，f(x)有最大值 π.反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验 f′(x)＝0 的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练 1 求函数 f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]的最值.解 f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1). 在区间[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，∴函数 f(x)在区间[2，5]上是减少的，∴当 x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2；当 x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5.命题角度 2 含参数的函数求最值例 2 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a).(1)若 f′(1...