专题突破六 构造函数法在导数中的应用所谓“构造函数”即从无到有，即在解题的过程中，根据题目的条件和结构特征，不失时机地“构造”出一个具体函数，对学生的思维能力要求较高，难度较大，一般都作为小题或解答题的压轴部分．一、作差法构造例 1 设函数 f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋，它们的图像在 x 轴上的公共点处有公切线．求证：当 x>1 时，f(x)1 知，h′(x)＝－－＝－<0，所以 h(x)在(1，＋∞)上是减函数，即 h(x)1 时，g′(x)>0.所以 x＝1 是 g(x)的极小值点，也是最小值点．故当 x>0 时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当 x∈(0，＋∞)时，≥lnx＋1.二、分离参数法构造例 2 若对任意的 x∈[e，＋∞)，都有 xlnx≥ax－a，求实数 a 的取值范围．考点 题点 解 对于任意的 x∈[e，＋∞)，都有 xlnx≥ax－a，等价于 a≤在[e，＋∞)上恒成立，1令 h(x)＝，h′(x)＝，x∈[e，＋∞)，当 x≥e 时，(x－lnx－1)′＝1－>0，即 m(x)＝x－lnx－1 在[e，＋∞)上是增加的，故 m(x)≥m(e)＝e－2>0，∴h′(x)>0，所以 h(x)＝在[e，＋∞)上是增加的，h(x)min＝h(e)＝，所以 a≤，即实数 a 的取值范围是.点评 恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数，转化为 a≤F(x)min或 a≥F(x)max.其中 F(x)为构造的新函数．跟踪训练 2 (2018·玉溪模拟)已知函数 f(x)＝ex＋tx(e 为自然对数的底数)．若对于任意的 x∈(0,2]，不等式 f(x)>0 恒成立，则实数 t 的取值范围为________．考点 题点 答案 (－e，＋∞)解析 依题意得 ex＋tx>0 在(0,2]上恒成立，即对任意的 x∈(0,2]，t>－恒成立．令 g(x)＝－，∴g′(x)＝.当 00；当 1
