三 圆的切线的性质及判定定理[对应学生用书 P25]1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图，已知 AB 切⊙O 于 A 点，则 OA⊥AB.(2)推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．(3)推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．[对应学生用书 P25]圆的切线的性质[例 1] 如图，已知∠C＝90°，点 O 在 AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切 AB 于 E，若 BC＝5，AC＝12.求⊙O 的半径．[思路点拨] ⊙O 切 AB 于点 E，由圆的切线的性质，易联想到连接 OE 构造 Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．[解] 连接 OE， AB 与⊙O 切于点 E，∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°. ∠C＝90°，∠A＝∠A，∴Rt△ACB∽Rt△AEO，∴＝. BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，∴＝，∴OE＝.即⊙O 的半径为.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如图 ，AB 切⊙O 于点 B，延长 AO 交⊙O 于点 C，连接 BC.若∠A＝40°，则∠C＝( )A．20° B．25°C．40° D．50°解析：连接 OB，因为 AB 切⊙O 于点 B，所以 OB⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°.又因为点 C 在 AO 的延长线上，且在⊙O 上，所以∠C＝∠AOB＝25°.答案：B2.如图，已知 PAB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O的切线，C 为切点，BD⊥PC 于点 D，交⊙O 于点 E，PA＝AO＝OB＝1.(1)求∠P 的度数；(2)求 DE 的长．解：(1)连接 OC. C 为切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，∴sin ∠P＝＝.∴∠P＝30°.(2) BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中，由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3，得 BD＝.连接 AE.则∠AEB＝90°，∴AE∥PD.∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin 30°＝1，∴DE＝BD－BE＝.圆...
