6.2.1 向量基本定理学习目标考点学习目标核心素养共线向量基本定理掌握共线向量基本定理数学抽象、数学运算平面向量基本定理理解平面向量基本定理数学抽象、数学运算向量的应用两定理的熟练应用数学建模、逻辑推理自主预习预习教材 P152~156的内容,思考以下问题:1.共线向量基本定理是怎样表述的?2.用向量证明三点共线有哪些方法?3.平面向量基本定理的内容是什么?4.如何定义平面向量基底?5.实数与直线上的向量建立了什么关系?知识梳理1.共线向量基本定理如果 a≠0 且 b∥a,则存在唯一的实数 λ,使得 . 由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知,如果 A,B,C 是三个不同的点,则它们共线的充要条件是 . 2.平面向量基本定理如果平面内两个向量 a 与 b ,则对该平面内任意一个向量 c,存在唯一的实数对(x,y),使得 . 平面内不共线的两个向量 a 与 b 组成的集合{a,b}常称为该平面上向量的一组 ,此时如果 c=xa+yb,则称 xa+yb 为 c 在基底{a,b}下的 . 3.直线上向量的坐标给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量 e,由共线向量基本定理可知,对于直线 l 上的任意一个向量 a,一定存在唯一的实数 x,使得 ,此时,x 称为向量 a 的坐标. 当 x>0 时,a 的方向与 e 的方向 ;当 x=0 时,a 是 ;当 x<0 时,a 的方向与 e 的方向 .也就是说,在直线上给定了单位向量之后,直线上的向量完全被其坐标确定. 课堂探究探究点 1 共线向量基本定理例 1 已知 m,n 是不共线向量,a=3m+4n,b=6m-8n,判断 a 与 b 是否共线?跟踪训练 1 设非零向量 e1和 e2不共线,是否存在实数 k,使 ke1+e2和 e1+ke2共线?探究点 2 用基底表示向量例 2 如图,在平行四边形 ABCD 中,设对角线⃗AC=a,⃗BD=b,试用基底 a,b 表示⃗AB,⃗BC.跟踪训练 2 如图,已知在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E,F 分别是 AD,BC 边上的中点,且 BC=3AD,⃗BA=a,⃗BC=b.试以 a,b 为基底表示⃗EF,⃗DF,⃗CD.探究点 3 直线的向量参数方程式的应用例 3 已知平面内两定点 A,B,对该平面内任一动点 C,总有⃗OC=3λ⃗OA+(1-3λ)⃗OB(λ∈R,点 O 为直线AB 外的一点),则点 C 的轨迹是什么图形?简单说明理由.跟踪训练 3 在△ABC 中,D 为 AB 上一点,若⃗AD=2⃗DB,⃗CD=13⃗CA+λ⃗CB,则 λ= . 核心素养专练[A 基础]1.(多选)若 e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是( ) A.e1-e2,e2-e1B.2e1-e2,e1-12e2...
