复复 数 数 知识要点知识要点1. ⑴ 复数的单位为 i，它的平方等于－1，即.⑵ 复数及其相关概念：① 复数—形如 a + bi 的数（其中）；② 实数—当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a；③ 虚数—当时的复数 a + bi；④ 纯虚数—当 a = 0 且时的复数 a + bi，即 bi.⑤ 复数 a + bi 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数）⑥ 复数集 C—全体复数的集合，一般用字母 C 表示.⑶ 两个复数相等的定义：.⑷ 两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）② 若， 则是的 必 要 不 充 分 条 件 . （ 当，时，上式成立）2. ⑴ 复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.由上可得：复平面内以为圆心， 为半径的圆的复数方程：.⑵ 曲线方程的复数形式：①为圆心，r 为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程.③为焦点，长半轴长为 a 的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.④表示以为焦点，实半轴长为 a 的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.⑶ 绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①.左 边 取 等 号 的 条 件 是， 右 边 取 等 号 的 条 件 是.②.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：.3. 共轭复数的性质： ，（a + bi） （） 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4 ⑴① 复数的乘方：② 对任何，及有③ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.② 在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵ 常用的结论： 若是 1 的立方虚数根，即，则 .5. ⑴ 复数是实数及纯虚数的充要条件：①.② 若，是纯虚数.⑵ 模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 6. ⑴ 复数的三角形式：.辐角主值：适合于 0≤＜的值，记作.注：①为零时，可取内任意值.② 辐角是多值的，都相差 2的整数倍.③ 设则.⑵ 复数的代数形式与三角形式的互化：，，.⑶ 几类三角式的标准形式：7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：① 当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.② 当不全为实数时，不能用方程根的情况.③ 不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：棣莫弗定理：
