高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）课堂探究学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

2.3 离散型随机变量的均值与方差 2课堂探究探究一 求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差的步骤：(1)列出随机变量的分布列；(2)求出随机变量的均值；(3)求出随机变量的方差．【典型例题 1】袋中有 20 个大小相同的球，其中标记 0 的有 10 个，标记 n 的有 n 个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ 表示所取球的标号．(1)求 ξ 的分布列、期望和方差；(2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值．思路分析：(1)根据题意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解．(2)运用 E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)，求 a，b.解：(1)ξ 的分布列为：ξ01234P则 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由 D(η)＝a2D(ξ)，得 a2×2.75＝11，得 a＝±2.又 E(η)＝aE(ξ)＋b，所以，当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2；当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4.所以或规律总结 求离散型随机变量的方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果．同时还要能正确求出每一个结果出现的概率．探究二 离散型随机变量的方差的应用离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看谁的平均水平高，然后再计算方差，分析谁的水平发挥相对稳定．当然不同的情形要求不同，应视情况而定．【典型例题 2】2012 年 4 月 1 日至 7 日是江西省“爱鸟周”，主题是“爱鸟护鸟观鸟，共享自然之美”．为更好地保护鄱阳湖候鸟资源，需评测保护区的管理水平．现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．思路分析：要比较两个保护区的管理水平，要先比较两个保护区的违规事件的平均次数，然后比较其稳定性，即方差．1解：甲保护区内的违规次数 X 的数学期望和方差分别为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区内的违规次数 Y 的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4...