高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

2．3.2 离散型随机变量的方差 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．1．方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn① 方差 D(X)＝∑__( x i－ E ( X )) 2 p i．② 标准差为．(2)方差的性质：D(aX＋b)＝a 2 D ( X ) ．随机变量与样本方差的关系(1)随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量．(2)对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差． 2．两个常见分布的方差(1)若 X 服从两点分布，则 D(X)＝p (1 － p ) ．(2)若 X～B(n，p)，则 D(X)＝np (1 － p ) ． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )(2)若 a 是常数，则 D(a)＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ 已知 X 的分布列为X1234P则 D(X)的值为( )A. B. C. D.答案：C 已知 X 的分布列为X012P设 Y＝2X＋3，则 D(Y)＝________．答案： 已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)．若 E(X)＝30，D(X)＝20，则 p＝________．解析：由 E(X)＝30，D(X)＝20，可得解得 p＝.答案：探究点 1 求离散型随机变量的方差 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ 表示所取球的标号．求 ξ 的分布列、均值和方差.【解】 由题意得，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝.故 ξ 的分布列为ξ01234P所以 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. [变条件]在本例条件下，若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值．解：由 D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＝11，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1，及 E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75，得 2.75a2＝11，1.5a＋b＝1，解得 a＝2，b＝－2 或 a＝－2，b＝4. 求离散型随机变量的...