函数单调性错例剖析 函数的单调性是函数基本性质之一，《考试大纲》对本性质作了重要的要求，它的应用非常广泛，但同学们在解题时，往往由于应用不熟练而导致错误，现举几例说明。 一、忽视单调性 例 1 已知函数 f（x）=x2-x-1，x∈[-1，]，求 f（x）的最大值和最小值。 错解：∵f（-1）=1+-1=，f（）=3-2-1=0， ∴f（x）的最大值和最小值分别为和 0。 剖析：以上解法忽视了函数的单调性，由题设知函数 f（x）在[-1，]上单调递减，在[，]上单调递增，因而当 x=时，f（x）取得最小值。 解：∵f（x）=（x-）2-，x∈[-1，]， ∴当 x=时，f（x）的最小值为-，当 x=-1 时，f（x）的最大值为。 二、不理解单调性定义例 2 判断函数 f（x）=的单调性。错解：f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），设 x1＜x2＜-1，则 f（x2）-f（x1）=-=。∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0 x1+1＜0 x2+1＜0∴f（x2）-f（x1）＜0，即 f（x2）＜f（x1）∴f（x）在(-∞,-1)上为减函数，同理可得 f（x）在（-1，+∞）上也是减函数，故 f（x）在（-∞，-1）∪（-1，+∞）为减函数。剖析：对函数单调性理解不够导致错误，对于单调性只能是在某个指定区间上来说的，不能用并集表示单调区间。正解：f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），设 x1＜x2＜-1，则 f（x2）-f（x1）=-=∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0，x1+1＜0，x2+1＜0∴f（x2）-f（x1）＜0，即 f（x2）＜f（x1）∴f（x）在(-∞，-1）为减函数。同理可得 f（x）在（-1，+∞）上也是减函数。∴f（x）在（-∞，-1）和（-1，+∞）上都是减函数。用心 爱心 专心1三、错用函数的单调性例 3 利用定义判断函数 f（x）=x+在区间（-∞，+∞）上的单调性。错解：设 x1，x2∈（-∞，+∞）且 x1＜x2，则 f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）+（-）∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，-＜0∴f（x1）-f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2）。故函数 f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调增函数。剖析：该解法失误在于错用了 g（x）=的单调性，而实际上在 R 上 g（x）=不具备单调性。例如 g（-1）=g（1）或由数形结合可知。正解：设 x1，x2∈（-∞，+∞）且 x1＜x2，则 f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（-）=（x1-x2）+=（x1-x2）+=∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，又∵+＞0，+x1＞|x1|+x1≥0，+x2＞|x2|+x2≥0∴++x1+x2＞0，所以 f（x1）-f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2），故函数 f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调增函数。点评：利用定义法判断函数单调性时，一般要将 f（x1）-f（x2）化成几个因式的乘积的形式。用心 爱心 专心2
