2.4 正态分布预习导航课程目标学习脉络1．会分析正态分布的意义．2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.1．正态曲线(1)函数 φμ，σ( x ) ＝ 2221e2πx ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ(σ＞0)为参数．我们称 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)随机变量 X 落在区间(a，b)的概率为 P(a＜X≤b)≈ dbxax， 思考 1 正态曲线 φμ，σ(x)中参数 μ，σ 的意义是什么？提示：参数 μ 反映随机变量取值的平均水平的特征数，则 E(x)＝μ，参数 σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．正态分布一般地，如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足 P(a＜x≤b)＝ dbxax，，则称随机变量 X 服从正态分布．正态分布完全由参数 μ，σ 确定，因此正态分布常记作N ( μ ， σ 2 ) ，如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ． 思考 2 设随机变量 X 的正态分布密度函数 φμ，σ(x)＝2341e2 πx，x∈(－∞，＋∞)，则参数 μ，σ 的值分别是( )A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝提示：写成标准式 φμ，σ(x)＝223221e2 πx ，∴μ＝－3，σ＝.3．正态曲线的特点(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称；(3)曲线在 x ＝ μ 处达到峰值；(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1；1(5)当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴 平移，如图①；(6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.思考 3 如何理解正态曲线的特点？提示：曲线特点概率体现曲线在 x 轴上方P(X)＞0曲线关于直线x＝μ 对称①P(X＞μ)＝P(X＜μ)＝，②P(μ－ε＜X＜μ)＝P(μ＜X＜μ＋ε)(其中ε＞0)曲线在 x＝μ 处达到峰值0＜φμ，σ(x)≤曲线与 x 轴围成的面积为 1P(－∞＜x＜＋∞)＝14．正态总体在三个特殊区间内取值的概率若 X～N(μ，σ2)，则对于任何实数 a＞0，概率P(μ－a＜X≤μ＋a)＝ ,daxax .特别地有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.思考 4 如何求服从正态分布的随机变量 X 在某区间内取值的概率？提示：首先找出服从正态分布时 μ，σ 的值，再利用 3σ 原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于 x＝μ 对称的区间上概率相等求得结果．2
