函数的奇偶性一、奇函数、偶函数的定义：1．偶函数：如果函数的定义域关于原点对称（即），则）且在定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。例如：函数，在的图象上任取一点，则关于轴对称的点，一定在的图象上，即，所以函数是偶函数。在如,，等等。典例 1 已知为偶函数，其定义域为，求的值域。 [分析] 考察偶函数的两大条件：定义域知关于原点对称和。 [解析] 为偶函数，其定义域应关于原点对称， 即 故 ， ，其值域为。2. 奇函数：一般地，如果函数的定义域关于原点对称（即），则）且在定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，在的图象上任取一点，则关于轴对称的点，一定在的图象上，即，所以函数是奇函数。在如,，等等。典例 2 若对于一切实数、都有，（1）求并证明为奇函数。 （2）若，求。1[解析] （1）令，则，则； 令，则 为奇函数。 （2）为奇函数，，对于 3. 奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，就说函数具有奇偶性。二、奇函数、偶函数的图象特征：1. 奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。2. 偶函数的图象关于轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数。三、奇函数与偶函数的联系：1. 奇函数在其对称区间上具有相同的单调性（即奇函数在上的单调性与它在上的单调性相同）。2. 偶函数在其对称区间上具有相反的单调性（即奇函数在上的单调性与它在上的单调性相反）。典例 3 已知函数在 R 上是奇函数，而且在是增函数，证明：在上也是增函数。典例 4 如下左图，已知偶函数在轴右边的一部分图象，根据偶函数性质，画出它在轴左边的图象。典例 5 如下右图，已知偶函数在轴右边的一部分图象，根据奇函数性质，画出它在轴左边的图象。2四、奇偶性的判断方法：1. 定义法（只要把握两点：①定义域在数轴上关于原点对称；②或）注意：在判断函数是否具有奇偶性时，有时需将函数解析式进行等价化简；有时也用典例 6 判断下列函数是否具有单调性。 （1） （2） （3） （4）2. 图象法：如二次函数成为偶函数，必须要使对称轴，即；若二次函数成为奇函数，必须要使；当时，二次函数是非奇非偶函数。注意： ①若是偶函数，则。反之亦真。 ② 若是奇函数，且定义域，则。③ 若且的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数。3思考：（3 ）（4 ）既不是奇函数又是偶函数，为什么 ？...
