备课资料等差数列的几个性质等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前 n 项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多.【性质 1】 已知等差数列{an}，m、p、q∈N*，若存在实数 λ 使 1qpm (λ≠-1),则 1qpmaaa.证明：由等差数列{an}的通项公式 an=dn+a1-d 的几何意义：点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线，由斜率公式得mqaapmaamqpm，因为 1qpm，所以qmmp.所以 λ(am-aq)=ap-am.所以(1+λ)am=ap+λaq，即 1qpmaaa.评析：特别地,当 λ=1 时，2am=ap+aq，我们不妨将性质 1 称为等差数列的定比分点公式.【性质 2】 等差数列{an}，ni，mi∈N*，i=1,2,3,…,k,若kiikiimn11.则kimkimaa11.证明：设等差数列{an}的公差为 d.根据 ani=ami+(ni-mi)d，i=1,2,3,…,k,则kimikikikiiimikiniadmnaa11111)(.所以kimikiniaa11推论：等差数列{an}，n i，m∈N *，i=1,2,3,…,k,若kiinkm1.则kinmiaka1. 评析：本性质实质上是等差中项性质的推广.【性质 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d.n，m∈N*,则dnmnSmSnm)(21.证明:因为mnmSnSnSmSnmnm=mndnnnamdmmman]2)1([]2)1([11=mndnmnmnadmmnmna2)1(2)1(11=dmnmnmnmnnm222=dmnmnnm222 =dmnnmmn2)( =dnm)(21 所以dnmnSmSnm)(21.评析：实质上数列nSn是公差为2d 的等差数列.【性质 4】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d.n，m∈N *,则 S m+n=Sm+Sn+mnd. 证明：因为 Sm+n=Sn+(an+1+an+2+…+an+m)=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(am+nd)=Sn+(a1+a2+…+am)+mnd=Sm+Sn+mnd，所以 Sm+n=Sm+Sn+mnd.【性质 5】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn，若 m=p+q(m、p、q∈N*且 p≠q),则有qpSSmSqpm.证明：设等差数列{an}的公差为 d.因为 Sp-Sq=pa1+ 21 p(p-1)d-qa1- 21 q(q-1)d=(p-q)［a1+ 21 (p+q-1)d］，所以dqpaqpSSqp)1(211.又因为dmamSm)1(211且 m=p+q，所以有qpSSmSqpm.推 论 ： 等 差 数 列 {an} 前 n 项 和 为 Sn ， 若 m+t=p+q(m 、 t 、 p 、 q∈N* 且 m≠t,p≠q), 则qpSStmSSqptm.【性质 6】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn.(1)当 n=2k(k∈N*)时，S2k=k(a k+ak+1);(2)当 n=2k-1(k∈N*)时，S2k-1=kak.
