解析几何中的范围问题（研究性学习之二） 在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。 一、“题设条件中的不等式关系”之运用 事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.例 1、已知双曲线中心在原点，右顶点为 A（1，0），点 P、Q 在双曲线右支上 ，点 M（m，0）到直线 AP 的距离为 1. （1）若直线 AP 的斜率为 k，且 ，求实数 m 的取值范围； （2）当 时，△APQ 的内心恰好是点 M，求此双曲线方程. 分析：对于（1），已知直线 AP 的斜率 k 的取值范围，要求 m 的取值范围，首先需要导出 k 与 m 的关系式；对于（2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺. 解：（1）由已知设直线 AP 的方程为 y＝k(x－1)，即 kx－y－k＝0 点 M 到直线 AP 的距离为 1 ∴ ① ∴ ， 解得 或 ∴所求 m 的取值范围为 . （2）根据已知条件设双曲线方程为 当 时，点 M 的坐标为（ ）. A(1,0)， ， 点 M 到直线 AP 的距离为 1，∴△APQ 的内切圆半径 r＝1， ∴∠PAM＝45°， （不妨设点 P 在第一象限） ∴直线 PQ 的方程为 ，直线 AP 的方程为y＝x－1 因此解得点 P 的坐标为（ ） 将点 P 坐标代入双曲线方程 得 用心 爱心 专心 ∴所求双曲线方程为 即 . 点评：这里的（1），是题设条件中明显的不等关系的运用； 这里的（2），审时度势的求解出点 P 坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向. 例 2、设椭圆 的两个焦点是 ，且椭圆...
