离散型随机变量的期望期望与方差中的最值问题，主要与函数、不等式等知识相联系，因此在解答时，要善于把有关期望与方差的最值问题转化为相关的函数、不等式等知识的最值问题进行求解.解答此类最值问题的途径主要是：①利用均值不等式；②利用二次函数的最值；③利用函数的单调性.下面举例说明. 例 1 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p ________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________. 解析：224pqnDnpqn≤，等号在12pq 时成立，此时，25D ，5 ． 例 2 （1）如果1~20 3B， ，求使()Pk 取最大值的 k 的值． （2）一般地，如果~()B np，，其中 01p ，讨论当 k 由 0 增加到 n 时， ()Pk 的变化情况， k 取什么值时，()Pk 取得最大值？ 解：（1）设1~20 3B， ，考查不等式1201120202012(1)201331()121233kkkkkkCPkkPkkC ≥ ，得6k ≤，所以当6k ≤时，(1)()PkPk ≥； 当6k 时，(1)()PkPk ． 其中当6k 时，(1)()PkPk ，所以当6 ， 7 时，()Pk 取最大值． （2）一般地，如果~()B np，，其中 01p ，考查不等式(1)1()PkPk ≥ ， 如 果111(1)1()1kkn knkkn knCpqPknkpPkC p qkq ≥ ， 得()(1)p nkq k≥， 所 以(1)1knpqnp≤． ①如果 (1)np是正整数，那么 (1)1np也是正整数，此时，可以使(1)1knp，1(1)knp ，且(1)()PkPk ，即当 k 取 (1)np或 (1)1np时()Pk 取最大值． ②如果 (1)np不是正整数，那么不等式(1)1()PkPk ≥ 不可能取等号． 所以，对任何 k ，(1)()PkPk ， 所以，当1(1)knp 的最大整数为[(1)]np ·， ∴当[(1) ]knp时，()Pk 取得最大值．用心 爱心 专心
