离散型随机变量的期望随机变量及应用是高中数学的重要内容，也是近年高考命题的一个新的亮点与热点．在高考中，随机变量及应用与函数、方程、不等式、数列、解析几何、立体几何等知识交汇融合、相互渗透，使问题的情景新颖而别致．下面以 2005 年高考题为例归纳随机变量与其他知识的交汇，与同学们共赏析． 一、随机变量与函数的交汇 例 1 （2005 年湖南卷）某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这 3 个景点的概率分别是 0．4，0．5，0．6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设?孜表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （1）求 的分布列及数学期望； （2）记“函数2( )31f xxx 在区间2 ， ∞ 上单调递增”为事件Ａ，求事件Ａ的概率． 解析：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件123AAA， ，相互独立，且1()0.4P A ，2()0.5P A，3()0.6P A． 客人游览的景点数的可能取值为０，1，2，3．相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3，2，1，０，所以 的可能取值为 1，3． 123123(3)()()PP A A AP A A A ···· 123123()()()()()()P AP AP AP AP AP A···· 20.40.50.60.24 ， (1)10.240.76P ∴． 所以 的分布列为13P0．760．24 1 0.7630.241.48E ． （2）因为2239( )124f xx ，所以函数2( )31f xx 在区间 32， ∞ 上单调递增，要使( )f x 在2 ， ∞ 上单调递增，当且仅当 322 ≤，即43 ≤． 从而4( )(1)0.763P APP≤ ． 点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的定义和求法及随机变量与函数的联系，体现了“在知识的交汇处命题”的原则．二、随机变量与方程的交汇 例 2 （2005 年浙江卷）袋子Ａ和Ｂ中装有若干个均匀的红球和白球，从Ａ中摸出一个红球的概率是，从Ｂ中摸出一个红球的概率为 p． （１）从Ａ中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止； ①求恰好摸 5 次停止的概率； ②记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列及数学期望 EX ． （2）若Ａ，Ｂ两个袋子中的球数之比为1: 2 ，将Ａ，Ｂ中的球装在一起后，从中摸出...
