借幂函数比较大小比较大小问题是幂函数中的一种常见题型．下面介绍几种方法，供同学们学习时参考．一、直接法当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较．例１ 比较下列各组中两个值的大小：（1）1.51.50.70.6，；（2）232.2，231.8 ．解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小．（1）∵幂函数1.5yx在［０，＋∞）上为增函数，又 0.7＞0.6，∴1.51.50.70.6；（2）∵幂函数23yx在（０，＋∞）上为减函数，又 2.2＞1.8，∴232.2>231.8 ．例 2 函数3( )()3af xab xb 是幂函数，比较( )f a 与( )f b 的大小．解析：∵( )f x 是幂函数， ∴301bab ，，解得43.ab ，∴43( )f xx．∵函数43( )f xx在（0，＋∞）上是增函数，且 a＞b＞0，∴( )( )f af b．二、转化法当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小．例３ 比较224333(2) ( 0.7)1.1，，的大小．解析：222233332(2)( 0.7)0.72，，42331.11.21．∵幂函数23yx在（０，＋∞）上单调递减，且 0.7＜22＜1.21，用心 爱心 专心∴22233320.71.212．∴224333( 0.7)(2)1.1 ．三、中间值法当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的．例４ 比较 0.8 12 与 0.9 13 的大小．解析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小．注意到这两个数的特点，中间值应选 0.9 13 或 0.8 12 ．∵ 12＞0，∴幂函数12yx在（０，＋∞）上是增函数．又 0.8＜0.9，∴0.8 12 ＜0.9 12 ．又 0＜0.9＜1，指数函数0.9xy 在（0，＋∞）上是减函数，且 12＞ 13，∴0.912 ＜0.913 ．综上可得 0.8 12 ＜0.9 13 ．四、模型函数法若函数( )yf x满足性质：( )()( )( )( )xf xf xyf xf yfyf y，等，则可以认为其模型函数为幂函数( )af xx．对于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解．例５ 已知函数( )f x 满足( )( )xf xfyf y ，且 f（8）=4，则22f _________33f （填“＞、=、＜”）．解析：( )f x 的原型函数是( )f xx（ 为常数），又 f（8）=4，∴48，∴23 ．于是23( )f xx，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是减函数，332332fff．用心 爱心 专心
