恒成立问题与有解问题的区别山东沂源二中 石玉台（256100）恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。1、恒成立问题1.1 恒成立问题与一次函数联系给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a≠0),若 y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有 f(x)<0，则有例 1、对于满足|p| 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在[-2,2]上恒大于 0，故有：即解得：∴x<-1 或 x>3.1.2 恒成立问题与二次函数联系若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于 0 恒成立，则有，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例 2、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x[-1,+)时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：题目中要证明 f(x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于 0 的问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=4（a-1)(a+2)<0 时，即-2
