典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1） （2）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程．解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，① 当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是：．② 当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是：．综 合 上 述 ， 当时 ， 抛 物 线的 焦 点 坐 标 为， 准 线 方 程 是 ：．典型例题二例 2 若直线与抛物线交于 A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为 2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k．解法一：设、，则由：可得：． 直线与抛物线相交，且，则． AB 中点横坐标为：，解得：或（舍去）．故所求直线方程为：．解法二：设、，则有．两式作差解：，即．，故或（舍去）．则所求直线方程为：．典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．分析：可设抛物线方程为．如图所示，只须证明，则以 AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切．证 明 ： 作于于． M 为 AB 中 点 ， 作于，则由抛物线的定义可知：在直角梯形中：，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例 4（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求 k 值．（2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为 9时，求 P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求 k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求 P点坐标．解：（1）由得：设直线与抛物线交于与两点．则有： ，即（2），底边长为，∴三角形高 点 P 在 x 轴上，∴设 P 点坐标是则点 P 到直线的距离就等于 h，即或，即所求 P 点坐标是（－1，0）或（5，0）．典型例题五例 5 已知定直线 l 及定点 A（A 不在 l 上），n 为过 A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上任一点，AN 的垂直平分线交 n 于 B，点 B 关于 AN 的对称点为 P，求证 P 的轨迹为抛物线．分析：要证 P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一...
