高中数学依托课本进行解题研究

数学解题研究(已发表)依托课本进行解题研究湖南省株洲县第五中学 阳志长 李志杰邮编 412100 手机 13874175142 电子信箱 yangzhichang123＠.126.com课本（人教社《全日制普通高级中学教科书 数学》第二册（上））第六章章头提出了问题“某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800，深为 3，如果池底每 1造价为 150 元，池壁每 1造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元”？与此相呼应，章尾参考例题的例 2 又提出了问题“设矩形 ABCD（AB＞AD）的周长为 24，把它关于 AC 折起来，AB 折过去后，交 DC 于点 P。设，求△ADP 的最大面积及相应的值（图略）”。两个问题，都出现了求形如的函数最值问题。教学中我们认为，仅仅用平均值不等式去解答此类问题，容易造成学生的错觉和思维定势。如果用平均值不等式求相关函数最值的条件得不到满足，那么就会造成学生思路短路和解题错误。出于教学时间的考虑，我们决定以此为契机，组织学生进行解题研究。下面是我们指导数学兴趣小组所进行的探索活动，希望能给同行在指导学生进行解题研究时一点参考。1、解题依据对于函数（称为双钩函数）：根据平均值不等式，当时，，当且仅当即 正 数时 ，取 最 小 值； 当时 ，，当且仅当即负数时，取最大值用心 爱心 专心。学生有过研究函数的经历，通过画图结合上述资料，学生容易得到：函数的定义域是，它是奇函数，单调增区间为和； 单 调 减 区 间 为和； 值 域 为等信息。这些都可以成为学生的解题依据。2、变形起点给出例 1：求函数的值域。兴趣小组给出解答：，当且仅当即正数时取最小值。故函数的值域为。提醒学生想一想：变式 1 求函数的值域。变式 2 求函数的值域。通过例题解答及其变式思考学生获得感悟：通过变形、变式，把分子是二次、分母是一次的分式化为双钩函数的形式，再运用双钩函数图象性质或平均值不等式求解。3、区分对待又给出例 2：（全国高考试题）甲、乙两地相距 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过 千米 时。已知汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分用心 爱心 专心组成：可变部分与速度 千米 时的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。（1）把全程运输成本 （元）表示为速度 （千米 时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？并求最小成本。兴趣小组给出解答：（1）每小时...