高中数学《平面向量应用举例》学案3 新人教A版必修4

§2.5.1 平面几何中的向量方法学习目标：⒈会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、距离、夹角等问题．⒉ 培养和发展运算能力和解决实际问题的能力．⒊ 体会几何论证的严谨、优雅，以及它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维能力．教学重点：平面几何中的向量方法．教学难点：平面几何中的向量方法．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程： （Ⅰ）新课引入：师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用．（Ⅱ）讲授新课：例 1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形 ABCD．求证：222222ACBDABBCCDDA．分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到 ACABAD�， DBABAD�，我们计算2||AC�和2||BD�．证明：不妨设 AB �a， AD �b，则AC �a+b， DB �a-b，2||AB�|a|2，2||AD�|b|2．∴ 2||ACACAC�( a+b)·( a+b) = a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2． ①同理 2||DB�|a|2-2a·b+|b|2． ②①+② 得 2||AC�2||DB�2(|a|2+|b|2)=2(2||AB�2||AD�)．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？1生：（探索、研究得出本例的几何证法如右图）略．师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，⑴ 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵ 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶ 把运算结果“翻译”成几何关系．例 2，如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是AD、DC 边的中点，BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点，你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗？分析：由于 R、T 是对角线 AC 上两点，所以要判断AR、RT、TC 之间的关系，只需要分别判断 AR、RT、TC 与 AC之间的关系即可．解：设 AB �a， AD �b...