运用两点的距离公式求最值两点的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点的距离公式在求最值中的应用举例说明． 一、求函数的最值 例 1 求函数的最小值． 分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示的形式：，易联想到两点的距离公式，从而将问题转化为几何问题来解决．解：如图 1，在平面直角坐标系内，设点，，． 则， 即（其中等号在三点共线时成立），∴． 评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点的距离公式，就会茅塞顿开． 例 2 求函数的最小值． 分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点的距离公式，则可简化解答过程． 解：如图 2，表示在平面直角坐标系中的动点到定点，，，的距离之和．用心 爱心 专心1 而中，，当且仅当点在线段上时等号成立；中，，当且仅当点在线段上时等号成立， 所以，当且仅当点为与的交点时，取得最小值，此时点的坐标为． 评注：这也是一道较难的代数题，利用上述解法，则不费吹灰之力，这充分显示出逆用坐标法的妙处． 二、求距离的平方和的最值 例 3 已知点，，点满足，求取得最小值时点的坐标． 分析：利用两点距离公式将表示为的形式，再消元得一个关于（或）的二次函数，最后求值． 解：由已知点满足，结合两点的距离公式，得 ， 当时，取得最小值，此时点的坐标为． 评注：对于几何中的平方和的最值问题常是先由两点的距离公式建立二元函数，通过消元转化为关于（或）的函数（或），再求解． 一般地，根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上介绍了两点的距离公式在求最值中的应用，而两点的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入它在其他方面的应用将会逐渐展现．用心 爱心 专心2
