难点 31 高考数学重点难点复习：数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★) 是 否 存 在 a 、 b 、 c 使 得 等 式 1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c).●案例探究［例 1］试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n＞1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时，均有：an+cn＞2bn.命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0 恒成立(a、b、c 为正数)，从而 ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.证明：(1)设 a、b、c 为等比数列，a=,c=bq(q＞0 且 q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)设 a、b、c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想＞()n(n≥2 且 n∈N*)下面用数学归纳法证明：① 当 n=2 时，由 2(a2+c2)＞(a+c)2，∴② 设 n=k 时成立，即则当 n=k+1 时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1［例 2］在数列{an}中，a1=1，当 n≥2 时，an,Sn,Sn－成等比数列.(1)求 a2,a3,a4，并推出 an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式.解： an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2) (*)(1)由 a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由 a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－同理可得：a4=－,由此可推出：an=(2)① 当 n=1,2,3,4 时，由(*)知猜想成立.② 假设 n=k(k≥2)时，ak=－成立故 Sk2=－·(Sk－)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk= (舍)由 Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)由①②知，an=对一切 n∈N 成立.(3)由(2)得数列前 n 项和 Sn=,∴S=Sn=0.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设 P(n)是关于自然数 n 的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设 P(k)成立(k≥n0)，可...
