第四讲 函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－x)=－f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：① 首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定 f(－x)与 f(x)的关系；③作出相应结论：若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。① 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；② 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于 y 轴对称的函数为偶函数，（3）简单性质：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇二、基础练习： 1. f(x),g(x)是定义在 R 上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则 f(x)，g(x)均为偶函数,h(x)一定为偶函数吗？ 反之是否成立？ 2.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x·f(x); ④y=f(x)+x.3.设函数若函数是偶函数，则的递减区间是 4.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)=x2-2x，则在 x<0 上 f(x)的表达式为 5. 设 f(x)是 R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若 x1＜0,且 x1+x2＞0,则 f(x1)与 f(-x2)的大小关系是 三、例题精讲：题型 1： 函数奇偶性的判定例 1. 判断下列函数的奇偶性：①,②,③④ 变式：设函数 f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①%2% y=－|f（x）|； ② y=xf（x2）； ③ y=－f（－x）； ④ y=f（x）－f（－x）。必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）题型 2： 函数奇偶性的证明例 2、已知函数 f(x),当 x,y∈R 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；变式：已知 f（x）=是奇函数，则实数 a 的值等于 题型 3： 函数奇偶性的应用例 3.设定义在[-2，2]上的偶函数 f(x)在区间[0，2]上单调递减...
