相似三角形的判定 相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。 我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。 一、等积式、比例式的证明： 等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。 例 1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 BC 延长线于 F。求证：CD2=DE·DF。 分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：，由等式左边得到△CDF，由等式右边得到△EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE 是公共角，只需证明∠DCE=∠F 就可证明两个三角形相似。 证明略（请同学们证明） 提示:D 为直角三角形斜边 AB 的中点,所以 AD=DC, 则∠DCE=∠A. （二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 例 2．如图，已知△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，CF∥BA，BF 交 AD 于 P 点，交 AC 于 E点。 求证：BP2=PE·PF。 分析：因为 BP、PE、PF 三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D 是 BC 中点，由等腰三角形的性质知 AD 是 BC 的垂直平分线，如果我们连结 PC，由线段垂直平分线的性质知 PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。 用心 爱心 专心1 证明：连结 PC 在△ABC 中， AB=AC，D 为 BC 中点， ∴AD 垂直平分 BC， ∴PB=PC， ∴∠1=∠2， AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2， ∴∠3=∠4， CF∥AB，∴∠3=∠F，∴∠4=∠F， 又 ∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC， ∴，∴PC2=PE·PF， PC=PB， ∴PB2=PE·PF。（等线段代换） 例 3．如图，已知：在△ABC 中，∠BAC=900，AD⊥BC，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于 F。 求证：。 分析：比例式左边 AB，AC 在△ABC 中，右边 DF、AF在△ADF 中，这两个三角形不相似...
