三次函数与四次函数大连市红旗高中 王金泽 wjz9589＠163.com 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与 x 轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008 年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数中的应用第一部分：三次函数的图象特征、以及与 x 轴的交点个数（根的个数）、极值情况三 次 函 数 图 象说 明a 对图象的影响可以根据极限的思想去分析当 a＞0 时，在+∞右向上 伸展，-∞左向下伸展。当 a＜0 时，在+∞右向下伸展，-∞左向上伸展。(可以联系二次函数 a 对开口的影响去联想三次函数右侧伸展情况)与 x 轴有三个交点若,且，既两个极值异号；图象与 x 轴有三个交点与 x 轴有二个交点 若,且，既有一个极值为 0，图象与 x 轴有两个交点与 x 轴有一个交点1。存在极值时即,且，既两个极值同号，图象与 x 轴有一个交点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与 x 轴有一个交点。用心 爱心 专心1.根的个数三次函数导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=，(1) 若，则恰有一个实根；(2) 若,且，则恰有一个实根；(3) 若,且，则有两个不相等的实根；(4) 若,且，则有三个不相等的实根.说明(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与 X 轴只相交一次，即在 R 上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与 X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与 X 轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 2.极值情况：三次函数（a＞0）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=，(1) 若，则在上为增函数；(2) 若， 则在和上 为 增 函 数 ，在上 为 减 函 数 ， 其 中. 证明：, △=，(1) 当 即时，在 R 上恒成立， 即在为增函数. (2) 当 即时，解方程，得由得或，在和上为增函数.用心 爱心 专心由得，在上为减函数.总结以上得到结论:三次函数,(1) 若，则在 R 上无极值；(2) 若，则在 R 上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.由此三次函数的极值要...
